Question

已知：圓C過(guò)定點(diǎn)A（0，p），圓心C在拋物線(xiàn)x²=2py上運(yùn)動(dòng)，若MN為圓C在X軸上截和的弦，設(shè)|AM|=l₁，|AN|=l₂，∠MAN=α．
（1）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否變化？寫(xiě)出并證明你的結(jié)論；
（2）求的最大值，并求取得這個(gè)最大值時(shí)α的值和此時(shí)圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出圓的方程，求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出|MN|即可發(fā)現(xiàn)|MN|的取值是否變化．
（2）先利用三角形的面積公式求出，再利用余弦定理求出l₁²+l₂²的表達(dá)式．代入整理為關(guān)于θ的函數(shù)，利用θ的范圍來(lái)求的最大值和此時(shí)圓C的方程即可．
解答：解：（1）：由題意得：⊙C的方程（x-x）²+（y-y）²=x²+（y-1）²．
把y=0和x²=2py代入整理得x²-2xx+x²+x_p²=0．
解之得方程的兩根分為
x₁=x-p，x₂=x+p．∴|MN|=|x₁-x₂|=2P．
∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|不會(huì)變化，|MN|=2P（定值）
（2）設(shè)∠MAN=θ
∵S_△AMN==|OA||MN|=p²，∴
∵l₁²+l₂²-2l₁l₂cosθ=4P²，∴．
∴．
∵只有當(dāng)C在O點(diǎn)處時(shí)，θ為直徑上圓周角，其他時(shí)候都是劣弧上的圓周角．
∴，
故當(dāng)時(shí)，原式有最大值．
∵∠MAN=，∴∠MCN=2∠MAN=∴y=P，x=，r=．
所求圓的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)圓與拋物線(xiàn)以及余弦定理，三角形面積公式等知識(shí)的綜合考查，做這一類(lèi)型題，讀題很關(guān)鍵．