Question

設橢圓過點，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交與兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足=λ，證明：點Q的軌跡與λ無關．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據離心率求得c，a的關系，則根據a，b和c的關系求得b，則橢圓的方程可得；
（Ⅱ）先設點Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設=λ．又P，A，Q，B四點共線，可得結合A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C上，得到2x+y-2=0最后根據點Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上．即點Q的軌跡與λ無關．
解答：解（Ⅰ）由題意解得a²=4，b²=2，所求橢圓方程為．
（Ⅱ）設點Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設=λ．
又P，A，Q，B四點共線，可得，
于是（1）（2）
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程x²+2y²=4，
整理得（x²+2y²-4）λ²-4（2x+y-2）λ+14=0（3）（x²+2y²-4）λ²+4（2x+y-2）λ+14=0（4）
（4）-（3）得8（2x+y-2）λ=0，∵λ≠0，∴2x+y-2=0，（
點Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上．即點Q的軌跡與λ無關．
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力與化歸與轉化思想．屬于基礎題．