Question

【題目】函數(shù)f（x）=2x﹣ex+1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2x﹣ex+1，f′（x）=2﹣ex，

令f′（x）＞0，解得：x＜ln2，令f′（x）＜0，解得：x＞ln2，

∴f（x）在（﹣∞，ln2）遞增，在（ln2，+∞）遞減，

∴f（x）的最大值是f（ln2）=2ln2﹣1

（2）解：x∈（0，1）時(shí)，f（x）在（0，ln2）遞增，在（ln2，1）遞減，

且f（0）=0，f（1）=3﹣e＞0，∴f（x）＞0，

∵tanx＞0，∴a≤0時(shí)，af（x）≤0＜tanx；

a＞0時(shí)，令g（x）=tanx﹣af（x），

則g′（x）= +a（ex﹣2），

∴g（x）在（0，1）遞增且g′（0）=1﹣a，

①0＜a≤1時(shí)，g′（0）≥0，g′（x）≥0，

∴g（x）在（0，1）遞增，又g（0）=0，

∴此時(shí)g（x）＞0，即af（x）＜tanx成立，

②a＞1時(shí)，g′（0）＜0，g′（1）＞0，

∴x0∈（0，1），使得g′（x0）=0，

即x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，

又g（0）=0，

∴g（x）＜0與af（x）＜tanx矛盾，

綜上：a≤1

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（2）求出f（x）在（0，1）為正，a≤0時(shí)，符合題意，a＞0時(shí)，通過討論①0＜a≤1，②a＞1時(shí)的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的具體范圍即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．