Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，|AD|=3，|AB|=4，|BC|=

3

，曲線(xiàn)段DE上任一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和都相等．
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求曲線(xiàn)段DE的方程；
（2）過(guò)C能否作一條直線(xiàn)與曲線(xiàn)段DE相交，且所得弦以C為中點(diǎn)，如果能，求該弦所在的直線(xiàn)的方程；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（！）由題意，先建立平面直角坐標(biāo)系，利用曲線(xiàn)的方程這一概念求其動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，要注意求解方程之后要有題意去排雜；
（2）對(duì)于（2）這種是否C能否，往往要利用假設(shè)的思想，設(shè)出變量，存在建立方程求解，不存在會(huì)產(chǎn)生矛盾及可求解．

解答：解：（1）以直線(xiàn)AB為x軸，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則A（-2，0），B（2，0），C（2，

3

），D（-2，3）．
依題意，曲線(xiàn)段DE是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓的一部分．
∵a=

1

2

(|AD|+|BD|)=4，c=2，b2=12，
∴所求方程為

x2

16

+

y2

12

=1(-2≤x≤4，0≤y≤2

3

)．

（2）設(shè)這樣的弦存在，其方程y-

3

=k（x-2），即y=k（x-2）+

3

，將其代入

x2

16

+

y2

12

=1
得(3+4k2)x2+(8

3

k-16k2)x+16k2-16

3

k-36=0
設(shè)弦的端點(diǎn)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由

x1+x2

2

=2，知x₁+x₂=4，∴-

8 3 k-16k2

3+4k2

=4，解得k=-

3

2

．
∴弦MN所在直線(xiàn)方程為y=-

3

2

x+2

3

，驗(yàn)證得知，這時(shí)M(0，2

3

)，N(4，0)適合條件．
故這樣的直線(xiàn)存在，其方程為y=-

3

2

x+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：（1）重點(diǎn)考查了利用曲線(xiàn)的方程這一概念，先建立平面直角坐標(biāo)系，然后利用定義法求其動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的排雜；
（2）重點(diǎn)考查了假設(shè)存在，建立方程求解或找矛盾的這一常用方法，還考查了直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程產(chǎn)生交點(diǎn)要聯(lián)立，用設(shè)而不求整體代換的思想求解．