Question

（本題共12分）

已知函數(shù)，其中且。

(Ⅰ)討論的單調(diào)性；

(Ⅱ)求函數(shù)在〔，〕上的最小值和最大值。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，最大值為；

當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，最大值為

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題的運(yùn)用。

（1）因?yàn)楹瘮?shù)，其中且，求解導(dǎo)數(shù)得到，然后對(duì)于參數(shù)a的范圍結(jié)合對(duì)數(shù)值來(lái)分類討論得到結(jié)論。

（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，在單調(diào)遞減，在在單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，取得最小值

，進(jìn)而作差比較大小，得到關(guān)于a的函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解得到。

解：(Ⅰ) ，∴ 。

① 當(dāng)時(shí)，，由可得；由可得

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

②當(dāng)時(shí)，，由可得；由可得

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

綜上可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增�！�……4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在單調(diào)遞減，在在單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，取得最小值

……………………………………………………6分

 ，

設(shè) ，則 。

∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)）∴在上單調(diào)遞增．

又∵，

∴①當(dāng)時(shí)，，即，

這時(shí)，在上的最大值為；

②當(dāng)時(shí)，，即

這時(shí)，在上的最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，最大值為；

當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，最大值為…………12分