Question

【題目】如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱 ，AB=2，D，E分別為棱AC，B1C1的中點(diǎn)，M，N分別為線段AC1和BE的中點(diǎn)．
（1）求證：直線MN∥平面ABC；
（2）求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取棱CC1的中點(diǎn)F，連MF，NF，則MF∥AC，NF∥BC，

∵M(jìn)F平面ADC，AC平面ADC，

∴MF∥平面ADC，同理NF∥平面ADC

又∵M(jìn)F∩NF=F，且MF平面MNF，NF平面MNF，

∴平面MNF∥平面ADC

又MN平面MNF，

∴MN∥平面ADC

（2）解：取線段BC的中點(diǎn)O，連AO，則AO⊥BC，連OE，則OE∥BB1，

又因?yàn)锽B1⊥平面ABC，所以O(shè)E⊥平面ABC

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 ， ， 為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．

設(shè)AB=2，則 ，各點(diǎn)坐標(biāo)如下： ，C（﹣1，0，0）， ， ，

∵平面BCD即平面Oxz∴取平面ADB的一個(gè)法向量為

設(shè)平面BDE的法向量為 ，則 ，

又 ，

∴ 令 得平面ADB1的一個(gè)法向量為 ，

∴

故二面角B1﹣AD﹣B的余弦值為

【解析】（Ⅰ）取棱CC1的中點(diǎn)F，連MF，NF，推出MF∥AC，NF∥BC，然后證明MF∥平面ADC，NF∥平面ADC，證明平面MNF∥平面ADC，推出MN∥平面ADC．（Ⅱ）取線段BC的中點(diǎn)O，連AO，連OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 ， ， 為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．設(shè)AB=2，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面ADB的一個(gè)法向量，平面BDE的法向量，通過向量的數(shù)量積求解二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．