Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)y軸正方向上一點(diǎn)C（0，c）任作一直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)y=x²相交于AB兩點(diǎn)，一條垂直于x軸的直線(xiàn)，分別與線(xiàn)段AB和直線(xiàn)l：y=-c交于P，Q，
（1）若，求c的值；
（2）若P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)；
（3）試問(wèn)（2）的逆命題是否成立？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)過(guò)C點(diǎn)的直線(xiàn)的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立設(shè)出A，B的坐標(biāo)則可分別表示出來(lái)，根據(jù)求得-c-k²c+kc•k+c²=2，求得c．
（2）設(shè)過(guò)Q的切線(xiàn)方程，通過(guò)對(duì)拋物線(xiàn)方程求導(dǎo)求得切線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可表示出切線(xiàn)方程求得與y=-c的交點(diǎn)為M的坐標(biāo)進(jìn)而根據(jù)P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)x₁x₂=-c，進(jìn)而可表示出M的坐標(biāo)，判斷出以點(diǎn)M和點(diǎn)Q重合，也就是QA為此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)．
（3）根據(jù)（2）可知點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)PQ⊥x軸，推斷出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，判斷出P為AB的中點(diǎn)．
解答：解：（1）設(shè)過(guò)C點(diǎn)的直線(xiàn)為y=kx+c，所以x²=kx+c（c＞0），即x²-kx-c=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
=（x₁，y₁），，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103101852853802648/SYS201311031018528538026020_DA/5.png">，所以x₁x₂+y₁y₂=2，即x₁x₂+（kx₁+c）（kx₂+c）=2，x₁x₂+k²x₁x₂-kc（x₁+x₂）+c²=2
所以-c-k²c+kc•k+c²=2，即c²-c-2=0，
所以c=2（舍去c=-1）

（2）設(shè)過(guò)Q的切線(xiàn)為y-y₁=k₁（x-x₁），y^/=2x，所以k₁=2x₁，即y=2x₁x-2x₁²+y₁=2x₁x-x₁²，
它與y=-c的交點(diǎn)為M，
又，
所以Q，
因?yàn)閤₁x₂=-c，所以，
所以M，
所以點(diǎn)M和點(diǎn)Q重合，也就是QA為此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)．

（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知Q，
因?yàn)镻Q⊥x軸，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103101852853802648/SYS201311031018528538026020_DA/13.png">，所以P為AB的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．