Question

已知數(shù)列的前n項和為滿足：．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）令，對任意，是否存在正整數(shù)m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）m的值為1，2，3．

【解析】

試題分析：（1）首先由題設(shè)找到與間的關(guān)系，然后證明是一個常數(shù).（2）首先求得

，由此得，用裂項法可求得和.由對任意都成立，得，即對任意都成立，所以 小于等于的最小值.

（1）當(dāng)時，，解得， 1分

當(dāng)時，由得， 2分

兩式相減，得，即（）， 3分

則，故數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列． 4分

（2）由（1）知，

， 6分

所以， 7分

則， 8分

由對任意都成立，得， 10分

即對任意都成立，又，

所以m的值為1，2，3． .12分

考點：1、等比數(shù)列；2、裂項法求和；3、不等關(guān)系.