Question

（A題）如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則下列四個命題：
①P在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②P在直線BC₁上運動時，二面角P-AD₁-C的大小不變；
③P在直線BC₁上運動時，直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，則M點必在直線A₁D₁上其中真命題的編號是

 

（寫出所有真命題的編號）．

Answer 1

分析：①利用線面平行的性質(zhì)和三棱錐的體積計算公式即可得出；
②利用二面角的定義即可得出；
③利用①的結(jié)論及線面角的定義即可判斷出；
④通過建立空間直角坐標系，利用兩點間的距離公式即可得出．

解答：解：①∵BC₁∥AD₁，BC₁?平面ACD₁，而AD₁?平面ACD₁，∴BC₁∥平面ACD₁．因此P在直線BC₁上運動時，點P到平面ACD₁的距離不變，三棱錐P-ACD₁即A-D₁PC的體積不變，正確；
②P在直線BC₁上運動時，二面角BC₁-AD₁-C大小不變，即二面角P-AD₁-C的大小不變，正確；
③由①可知：P在直線BC₁上運動時，點P到平面ACD₁的距離h不變，而AP隨著點P的變化而變化，設(shè)AP與平面ACD₁所成的角為θ，
則sinθ=

h

AP

隨著AP的改變而改變，因此不正確；
④距離如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)M（x，y，0），不妨設(shè)D₁A₁=1，則C₁（0，1，0），D（0，0，1）．
∵|MD|=|MC₁|，∴

x2+y2+1

=

x2+(y-1)2

，解得y=0．
∴點M（x，0，0）．
則M點必在直線A₁D₁上．因此正確．
綜上可知：正確命題是①②④．
故答案為①②④．

點評：熟練掌握線面平行的性質(zhì)和三棱錐的體積計算公式、二面角的定義、線面角的定義、建立空間直角坐標系、兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．