如圖所示的樹形圖形．第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該段均成1350的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段；重復前面的作法作圖至第n層．設(shè)樹形圖的第n層的最高點到水平線的距離為第n層樹形圖的高度．

（Ⅰ）求第三層及第四層樹形圖的高度H3，H4；

（Ⅱ）求第n層樹形圖的高度Hn；

（Ⅲ）若樹形圖的高度大于2，則稱樹形圖為“高大”，否則稱為“矮小”．顯然，當 時是“矮小”的，是否存在．使得當時，該樹形圖是“高大”的?

解：(Ⅰ)設(shè)題中樹形圖（從下而上）新生的各層高度所構(gòu)成的數(shù)列為，

則，

所以，第三層樹形圖的高度．

第四層樹形圖的高度．

（Ⅱ）易知，所以第n層樹形圖的高度為，

所以，當為奇數(shù)時，第n層樹形圖的高度為

；

當為偶數(shù)時，第n層樹形圖的高度為

．

（Ⅲ）不存在．

由（Ⅱ）知，當為奇數(shù)時，

；

當為偶數(shù)時，，

由定義，此樹形圖是永遠是“矮小“的．所以不存在．使得當時，該樹形圖是“高大”的．

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示的樹形圖形中，第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該段均成135°的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段；……重復前面的作法作圖至第層．設(shè)樹形圖的第層的最高點到水平線的距離為第層樹形圖的高度．

(1)求第三層及第四層樹形圖的高度H3，H4；

(2)求第層樹形圖的高度；

(3)若樹形圖的高度大于2，則稱樹形圖為“高大”，否則稱為“矮小”．顯然，當=1，2時，樹形圖是“矮小”的．是否存在m∈Z，使得當時，該樹形圖是“高大”的?

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