Question

已知S_n是正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且an+

1

an

=2Sn，那么S₁₀等于（　�。�

• A．

  11

• B．

  10

• C．3
• D．2

  3

Answer 1

分析：由S_n是正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且an+

1

an

=2Sn，分別令n=1，2，3，解得a₁=1．a(chǎn)₂=

2

-1.a3=

3

-

2

．由此猜想an=

n

-

n-1

．從而能求出S₁₀．

解答：解：∵S_n是正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且an+

1

an

=2Sn，
∴a1+

1

a1

=2a1，解得a₁=1．
a2+

1

a2

=2+2a2，解得a₂=

2

-1．
a3+

1

a3

=2

2

+2a3，解得a3=

3

-

2

．
…
由此猜想an=

n

-

n-1

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，成立，即ak=

k

-

k-1

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1-

1

ak+1

=2

k

+2a_k+1，
解得ak+1=

k+1

-

k

，也成立．
∴an=

n

-

n-1

．
∴S₁₀=1+（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+（

10

-3）=

10

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行猜想．