Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程.

(2)當(dāng)點(diǎn)P(x₀,y₀)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程.

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|·|BF|的最小值.

Answer 1

【解析】(1)因?yàn)镕(0,c)到直線l:x-y-2=0的距離為,即=,所以c=1(注意c>0),可得拋物線C的方程為x²=4y.

(2)設(shè)切點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則=4y₁,=4y₂.

對(duì)x²=4y(即y=x²)求導(dǎo)可得y′=x,切線PA的斜率為=x₁,將= 4y₁代入整理可得2y₁-x₀x₁+2y₀=0①,同理切線PB的斜率為=x₂,將=4y₂代入整理可得2y₂-x₀x₂+2y₀=0②,由①②可得點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)都適合方程2y-x₀x+2y₀=0,也就是當(dāng)點(diǎn)P(x₀,y₀)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),直線AB的方程即為2y-x₀x+2y₀=0.

(3)由拋物線的性質(zhì)可知A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)到焦點(diǎn)F(0,c)的距離等于到準(zhǔn)線y=-1的距離,所以|AF|=y₁+1,|BF|=y₂+1,|AF|·|BF|=(y₁+1)(y₂+1)=y₁y₂+y₁+y₂+1.

聯(lián)立方程消去x整理得y²+(2y₀-)y+=0,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁+y₂=-2y₀,y₁y₂=,所以|AF|·|BF|=+-2y₀+1.

又y₀=x₀-2,則+-2y₀+1=2+2y₀+5=

2+,所以當(dāng)y₀=-時(shí),|AF|·|BF|取得最小值,且最小值為.