Question

已知橢圓的長軸長為4．
（1）若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y=x+2相切，求橢圓焦點坐標；
（2）若點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，記直線PM，PN的斜率分別為k_PM，k_PN，當時，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，再結合橢圓的長軸的長為4，進而根據橢圓中a，b，c的關系得到焦點的坐標．
（2）由題意可設M（x，y），N（-x，-y），P（x，y），所以有，兩式相減得：，再結合兩條直線的斜率與題中條件可得答案．
解答：解：（1）由…（2分）
又因為2a=4，
所以a=2，又a²=4，b²=2…（4分）
所以c²=a²-b²=2，
∴…（6分）
（2）由于過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N交于坐標原點對稱
不妨設：M（x，y），N（-x，-y），P（x，y）
因為M，N，P在橢圓上，
所以它們滿足橢圓方程，即有
兩式相減得：．…（8分）
由題意它們的斜率存在，則…（10分）

故所求橢圓的方程為…（12分）
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，涉及了橢圓與直線的位置關系，以及直線的斜率等問題，綜合性強．