Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且C=，a+b=λc，（其中λ＞1）．
（Ⅰ）若c=λ=2時，求•的值；
（Ⅱ）若•=（λ⁴+3）時，求邊長c的最小值及判定此時△ABC的形狀．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a+b=λc由正弦定理得：sinA+sinB=λsinC，
又∵，
∴，根據(jù)c=2，得到△ABC為邊長為2的等邊三角形，
∴；
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
由，又a+b=λc，
∴
∴當且僅當時取等號．此時，
∴或，
∴△ABC為直角三角形．
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡a+b=λc，然后把λ與sinC的值代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可得到一個角的正弦函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到B的度數(shù)，進而得到此三角形為邊長為2的等邊三角形，然后由a=b=2，cosC=cos，利用平面向量的數(shù)量積得運算法則，即可求出•的值；
（Ⅱ）由cosC的值，根據(jù)余弦定理即可得到c的平方與a+b和ab之間的關系式，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則，由若•=（λ⁴+3），即可表示出ab，又a+b=λc，代入得到的關系式中，利用基本不等式即可求出c的最小值，進而求出此時λ的值，得到a+b和ab的值，聯(lián)立即可求出a與b的值，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷出△ABC為直角三角形．
點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，會利用基本不等式求函數(shù)的最小值，靈活運用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，是一道中檔題．