Question

若圓過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線，、為曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若，直線的斜率為，過、兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處有共同的切線，求圓的方程；

（3）分別過、作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線上，求證：與均為定值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）0.

【解析】本試題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）依題意,點(diǎn)C到定點(diǎn)M的距離等于到定直線L的距離，所以點(diǎn)C的軌跡為拋物線，曲線E的方程為；   

（2）直線AB的方程是,即x-2y+12=0，

由聯(lián)立x-2y+12=0和，得點(diǎn)A、B、、的坐標(biāo)是（6,9）或（-4,4），

當(dāng)A（6,9）或B（-4,4），時(shí)，由得,，

 所以拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為，

直線NA的方程為，即x+3y-33=0…………①

線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,13/2)，中垂線方程為，…………②

由①、②解得，

于是，圓C的方程為

，

當(dāng)B（6,9）或A（-4,4），時(shí)，拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為，此時(shí)切線與AB垂直，所求圓為以AB為直徑的圓，可求得圓為， 

（3）設(shè)，,Q(a,-1)，過點(diǎn)A的切線方程為，

即，同理可得，所以,，

又，所以直線的方程為，

亦即,所以t=1，

而,，所以