Question

已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點與頂點，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為

2

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點與頂點，確定雙曲線的頂點與焦點，再根據(jù)雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形恰為正方形，確定雙曲線的漸近線，從而求出橢圓的離心率．

解答：解：∵雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點與頂點，
∴雙曲線的頂點是（±

a2-b2

，0），焦點是（±a，0），
設(shè)雙曲線方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0），
∴雙曲線的漸近線方程為y=±

n

m

x，
∵m=

a2-b2

，n²=a²-m²=b²，
∴n=b，
∵雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形恰為正方形，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x，
∴m=n，
∴a²-b²=b²，
∴c²=a²-c²，
∴a²=2c²，
∴a=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題以橢圓方程為載體，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的離心率，正確運用幾何量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．