如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處.從A、B到直線l(庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，AB的長為d.求庫底與水壩所成二面角的余弦值.

思路解析：所求二面角的平面角就是圖中直線AC、BD所成的角.因此，利用向量的數(shù)量積求出這個角.

解：如題圖，AC=a,BD=b,CD=c,AB=d.

根據(jù)向量的加法法則，=++.

d2==(++)2=a2+c2+b2+2·

＝a2+c2+b2-2·.

于是，得2·=a2+c2+b2-d2.

設(shè)向量與的夾角為θ，θ就是庫底與水壩所成的二面角.

因此2abcosθ=a2+c2+b2-d2，

所以cosθ=

即庫底與水壩所成的二面角的余弦值為

方法歸納  立體幾何中的夾角，都可以轉(zhuǎn)化為兩個向量的夾角.向量u和v的夾角θ滿足關(guān)系式cosθ=.立體幾何中有關(guān)夾角問題，經(jīng)常用空間向量的數(shù)量積解決.


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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，甲站在水庫底面上的點D處，乙站在水壩斜面上的點C處，已知測得從D、C到庫底與水壩的交線的距離分別為DA=10
2
米、CB=10米，AB的長為10米，CD的長為10
6
米，則庫底與水壩所成的二面角的大小為
135
135
 度．

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆福建省高二上學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，已知測得從到庫底與水壩的交線的距離分別為米、米，的長為米，的長為米，則庫底與水壩所成的二面角的大小     度.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆福建師大附中高二下學期期中理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，已知庫底與水壩所成的二面角為，測得從到庫底與水壩的交線的距離分別為米、米，又已知米，則甲乙兩人相距（  ）米.

A. 50       B.       C. 60      D. 70

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年福建師大附中高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，甲站在水庫底面上的點D處，乙站在水壩斜面上的點C處，已知測得從D、C到庫底與水壩的交線的距離分別為米、CB=10米，AB的長為10米，CD的長為米，則庫底與水壩所成的二面角的大小為     度．

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