Question

已知無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n都有Sn3＝(Sn)3成立，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)任意正整數(shù)n，從集合{a1，a2，…，an}中不重復(fù)地任取若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)之間經(jīng)過加減運(yùn)算后所得數(shù)的絕對(duì)值為互不相同的正整數(shù)，且這些正整數(shù)與a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全體正整數(shù)組成的集合．

(ⅰ)求a1，a2的值；

(ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

 

Answer 1

（1）an＝1或an＝2n－1（2）a1＝1，a2＝3，an＝3n－1

【解析】(1)設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)?/span>Sn3＝(Sn)3對(duì)任意正整數(shù)n都成立，所以分別取n＝1，n＝2時(shí)，則有：

因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，所以d≥0.

可得a1＝1，d＝0或d＝2.(4分)

當(dāng)a1＝1，d＝0時(shí)，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；

當(dāng)a1＝1，d＝2時(shí)，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.

因此，共有2個(gè)無窮等差數(shù)列滿足條件，通項(xiàng)公式為an＝1或an＝2n－1.(6分)

(2)(ⅰ)記An＝{1,2，…，Sn}，顯然a1＝S1＝1.(7分)

對(duì)于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1,2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1,2,3,4}，

故1＋a2＝4，所以a2＝3.(9分)

(ⅱ)由題意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述規(guī)則，共產(chǎn)生Sn個(gè)正整數(shù)．(10分)

而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述規(guī)則產(chǎn)生的Sn＋1個(gè)正整數(shù)中，除1,2，…，Sn這Sn個(gè)正整數(shù)外，還有an－1，an＋1＋i，|an＋1－i|(i＝1,2，…，Sn)，共2Sn＋1個(gè)數(shù)．

所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1.(12分)

又Sn＋1＋＝3 ，所以Sn＝·3n－1－＝·3n－.(14分)

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝·3n－－＝3n－1.(15分)

而a1＝1也滿足an＝3n－1.

所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3n－1.(16分)