Question

已知正三棱錐A－BCD的底邊長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，且AC⊥DE．

(1)求此正三棱錐的體積V；

(2)求二面角E－FD－B的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由正三棱錐A－BCD知AC⊥BD ∵AC⊥DE，∴AC⊥平面ABD． ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝ ∴AB＝AC＝AD＝． V＝×AB·AC·AD＝． (2)分別過(guò)A、E作平面BCD的垂線(xiàn)，垂足為、，由正三棱錐可知、是正△BCD邊CD上的高的兩個(gè)三等分點(diǎn)． 連結(jié)，，是△EDF在平面BCD內(nèi)的射影． ∵EF∥AC，∴EF⊥平面ABD， ∠FED＝，EF＝＝，， ∴． 在中，DF＝， 設(shè)二面角E－FD－B大小為θ， 則cosθ＝，sinθ＝． ∴二面角E－FD－B的正弦值為．