Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b．其中a，b∈R．
（1）設兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同，若a＞0，試建立b關于a的函數(shù)關系式；
（2）在（1）的條件下求b的最大值；
（3）若b=0時，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設公共點（x₀，y₀），根據(jù)題意得到，f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b關于a的函數(shù)關系式；
（2）令b'（a）=0，得a=e

1

3

，經(jīng)過判斷當a=e

1

3

時，b（a）為極大值，即b的最大值；
（3）根據(jù)已知h（x）為單調(diào)函數(shù)，則h′（x）≥0或h′（x）≤0，解出a的取值范圍即可．

解答：解：（1）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

．
由題意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即

1 2 x 2 0 +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
b=

5a2

2

-3a²lna（a＞0）
（2）b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）．
令b'（a）=0，則a=e

1

3

，當a變化時，b'（a）及b（a）的變化情況如下表：
所以，a=e

1

3

時，b（a）有最大值

3

2

e

2

3

．
（3）h（x）=

1

2

x²+3a²lnx-6x，h′（x）=x+

3a2

x

-6
要使h（x）在（0，4）上單調(diào)，
須h′（x）=x+

3a2

x

-6≤0或h′（x）=x+

3a2

x

-6≥0在（0，4）上恒成立．
h′（x）=x+

3a2

x

-6≤0在（0，4）上恒成立
?3a²≤-x²+6x在（0，4）上恒成立．
而-x²+6x＞0，且-x²+6x可為足夠小的正數(shù)，必有a=0
或h′（x）=x+

3a2

x

-6≥0在（0，4）上恒成立
?3a²≥（-x²+6x）_max=9，得a≥

3

或a≤-

3

．
綜上，所求a的取值范圍為a≥

3

或a≤-

3

或a=0．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等函數(shù)的基礎知識，是一道關于函數(shù)的綜合題，應熟練掌握其求解的方法步驟．