Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)A(1，

1

2

)作直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若A點(diǎn)恰為線段MN的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由左焦點(diǎn)為 F（-

3

，0），右頂點(diǎn)為D（2，0），得到橢圓的長半軸長a，半焦距c，再求得短半軸長b，最后由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上求得方程．
（2）設(shè)直線方程為y-

1

2

=k（x-1），聯(lián)立直線奉承與橢圓方程，得到M，N兩點(diǎn)的作之間的關(guān)系，根據(jù)A點(diǎn)恰為線段MN的中點(diǎn)求出斜率即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由已知得橢圓的長半軸長a=2，半焦距c=

3

，則短半軸長b=1．
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為；y-

1

2

=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y- 1 2 =k(x-1) x2 4 +y2=1

⇒（1+4k²）x²+8k（

1

2

-k）x+4（

1

2

-k）²-4=0．
x₁+x₂=-

8k( 1 2 -k)

1+4k2

．
∵A點(diǎn)恰為線段MN的中點(diǎn)，
∴

x1+x2

2

=1⇒-

4k( 1 2 -k)

1+4k2

=1，解得k=-

1

2

．
此時(shí)直線l的方程為：y-

1

2

=-

1

2

（x-1），即x+2y-2=0；
②當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線為x=1：顯然A點(diǎn)不是線段MN的中點(diǎn)．
綜上，所求直線l的方程為：x+2y-2=0．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，（2）問也可以考慮“平方差法”解決．