已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點C在l上.

（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；

（2）設(shè)過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點. 問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由.

 

【答案】

 (1)   (2)不能

【解析】

試題分析：(1)由拋物線的定義可得知,軌跡為拋物線, P（1，0）看作焦點,直線l：x=－1看作準線. 從而得出軌跡方程.

(2) 先得出直線的方程,代入圓的方程中可求出直線與圓的交點,再利用兩點間距離公式列出方程組,最后驗證.

試題解析：(1)依題意,曲線M是以點P為焦點,直線l為準線的拋物線,     （2分）

所以曲線M的方程為,如上圖.     （4分）

(2)由題意得,直線的方程為

    （6分）

由  消去,得

解得    （10分）

存在這樣的C點，使得為以為兩腰的等腰三角形，

設(shè)則

解得    （13分）

但是不符合（1），所以上面方程組無解，因此直線l上不存在點C使得是正三角形    （14分）

考點：拋物線的有關(guān)知識,兩點間的距離公式.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點C在l上．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P，且斜率為-
3
的直線與曲線M相交于A，B兩點．
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由；
（ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點C在l上．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點P且斜率為-
3
的直線與曲線M相交于A、B兩點，求線段AB的長；
（3）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•寶山區(qū)一模）已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點P，且傾斜角為120°的直線與曲線M相交于A，B兩點，A，B在直線l上的射影是A1，B1．
①求梯形AA1B1B的面積；
②若點C是線段A1B1上的動點，當△ABC為直角三角形時，求點C的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點C在l上．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點P，且斜率為-
3
的直線與曲線M相交于A、B兩點．問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年高考數(shù)學(xué)壓軸試卷集錦（1）（解析版） 題型：解答題

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點C在l上．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P，且斜率為-的直線與曲線M相交于A，B兩點．
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由；
（ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍．

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