Question

【題目】設雙曲線 =1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線的兩條漸近線交于B、C兩點，過B、C分別作AC、AB的垂線，兩垂線交于點D．若D到直線BC的距離小于2（a+ ），則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A.（1，2）
B.（ ，2）
C.（1， ）
D.（ ， ）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意可得D為△ABC的垂心，
即有AD⊥BC，即D在x軸上，
令x=c，可得y2=b2（ ﹣1），
解得y=± ，
可設B（c， ），C（c，﹣ ），
由BD⊥AC，可得kBDkAC=﹣1，
由題意，A（a，0），
設D（x，0），則由BD⊥AB得 =﹣1，
∴c﹣x= ，
∵D到直線BC的距離小于2（a+ ）=2（a+c），
∴c﹣x=| |＜2（a+c），
∴ ＜2（c2﹣a2）=2b2 ，
∴（ ）2＜2，
則b2＜2a2 ，
即c2﹣a2＜2a2 ，
則c2＜3a2 ，
c＜ a，
即1＜e＜ ，
則曲線的離心率的取值范圍是（1， ），
故選：C