Question

設f(x)是定義在[－1，1]上的偶函數，g(x)與f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，當x∈[2，3]時，g(x)＝2t(x－2)－4(x－2)³(t為常數)．

(1)求f(x)的表達式．

(2)當t∈時，求f(x)在[0，1]上取最大值時對應的x值；猜想f(x)在[0，1]上的單調增區(qū)間，給予證明．

(3)當t＞6時，是否存在t使f(x)的圖象的最高點落在直線y＝12上？若存在，求t的值；若不存在說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

設P(x0，y0)是y＝f(x)圖象上任一點，則y0＝f(x0)，P關于x＝1的對稱點的坐標應為(2－x0，y0)． 　　又∵在y＝g(x)上，∴y0＝g(2－x0)．即f(x0)＝g(2－x0) 　　f(x)＝g(2－x)，設x∈[－1，0]，則2－x∈[2，3] 　　f(x)＝g(2－x)＝－2tx＋4x3，x∈[－1，0] 　　又∵f(x)為偶函數，當x∈[0，1]，f(x)＝f(－x)＝2tx－4x3 　　∴f(x)＝ 　　②t∈[2，6]，x∈[0，1]，f(x)＝2tx－4x3 　　＝2t－12x2＝0，x＝∈[0，1] 　　當0≤x＜時，＞0 　　∴當x＝時，f(x)在[0，1]取最大值，增區(qū)間 　�、踗(x)為偶函數，只討論x∈[0，1]情形t＞6時，＞1．f(x)在[0，)單調遞增，f(x)在[0，1]也單調增． 　　f(x)最大值＝f(1)＝2t－4＝12．t＝8．存在t＝8．