Question

已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的值；
(3)設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)、(),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并證明.

Answer 1

（1）；（2）；(3) 見解析。

試題分析：（1）先求的定義域，然后對求導(dǎo)，令尋找極值點(diǎn)，從而求出
極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，又，則只需恒成立，再證在處取到最小值即可；（3）有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等的正根，由此可得的取值范圍，，由根與系數(shù)可知及范圍為，代入上式得，利用導(dǎo)函數(shù)求的最小值即可。
試題解析：（1）的定義域是，.
,故當(dāng)x=1時(shí)，G（x）的極小值為0.
（2）令，則，
所以，即恒成立的必要條件是，
又，由得：．
當(dāng)時(shí)，由知，
故，即恒成立．
（3）由，得．
有兩個(gè)極值點(diǎn)、等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等的正根，
即：， 解得 ．
由，得，其中.
所以．
設(shè)，得，
所以，即．