Question

已知冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3（m∈Z）的圖象與x軸、y軸無公共點且關(guān)于y軸對稱．
（1）求m的值；
（2）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象（圖象上要反映出描點的“痕跡”）．

Answer 1

分析：（1）冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3（m∈Z）的圖象與x，y軸都無公共點說明指數(shù)為負數(shù)，而圖形關(guān)于y軸對稱說明指數(shù)數(shù)為偶函數(shù)，由此求得整數(shù)m的值．
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論寫出冪函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)y=f（x）的圖象．

解答：解：（1）由于冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3（m∈Z）的圖象與x軸、y軸都無公共點，且關(guān)于y軸對稱，故冪函數(shù)是偶函數(shù)，
且m²-2m-3=（m-3）（m+1）為非正的偶數(shù)．
由m²-2m-3≤0可得-1≤m≤3，即  m=-1、0、1、2，3．
再由m²-2m-3為偶數(shù)，可得m=-1、1、3．
（2）當m=-1或3時，f（x）=x⁰；
當m=1時，f（x）=x^-4；
圖象如圖所示．

點評：此題很好的考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．