Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足以下條件：①f（x+1）=-f（x）對(duì)任意的x都成立；②當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=e^x-e•cos

πx

2

+m（其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，m是常數(shù)）．記f（x）在區(qū)間[2013，2016]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則（　�。�

• A、m=-

  1

  2

  ，n=6
• B、m=1-e，n=5
• C、m=-

  1

  2

  ，n=3
• D、m=e-1，n=4

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x）⇒f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)，依題意知，f（0+1）+f（0）=1，可求得m的值；當(dāng)0≤x≤1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)法可知，f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

在[0，1]上只有一個(gè)零點(diǎn)；同理可求得當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

在[-1，0]上只有一個(gè)零點(diǎn)；利用函數(shù)的周期性即可求得f（x）在區(qū)間[2013，2016]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)，
又當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=e^x-e•cos

πx

2

+m，
∴f（0）=1-e+m，f（1）=e+m，又f（0+1）=-f（0），
即f（0+1）+f（0）=1，
∴2m+1=0，
∴m=-

1

2

，可排除B、D；
∴f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

，
∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f′（x）=e^x+

π

2

sin

πx

2

＞0，
∴f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

在[0，1]上單調(diào)遞增，
又f（0）=1-e-

1

2

＜0，f（1）=e-

1

2

＞0，
∴f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

在[0，1]上只有一個(gè)零點(diǎn)；①
當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，x+1∈[0，1]，f（x+1）=e^x+1-e•cos

π(x+1)

2

-

1

2

，
∴f（x）=-f（x+1）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

（-1≤x≤0），
∵當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f′（x）=-e^x+1-

π

2

cos

πx

2

＜0，
∴f（x）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

在[-1，0]上單調(diào)遞減，
又f（-1）=-1+1+

1

2

＞0，f（0）=-e+

1

2

＜0，
∴f（x）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

在[-1，0]上只有一個(gè)零點(diǎn)；②
由①②知，函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)共有2個(gè)零點(diǎn)；
∴f（x）在區(qū)間[2013，2016]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，（由2為其周期知，在[2013，2014]上一個(gè)，在[2014，2015]上一個(gè)，在[2015，2016]上一個(gè)），即n=3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查分段函數(shù)解析式的確定，考查通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)個(gè)數(shù)，是難點(diǎn)，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．