Question

（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。（I）求a與b；（II）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別是F₁和F₂，直線且與x軸垂直，動(dòng)直線軸垂直，于點(diǎn)P，求線段PF₁的垂直平分線與的交點(diǎn)M的軌跡方程，并指明曲線類型。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  

解析:

（I）由橢圓

得：     （1）

又以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。

即原點(diǎn)到直線的距離為b，所以代入到（1）中得

所以，                                                        …………6分

   （II）方法一：由得F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），

    設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），由題意：P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），因?yàn)榫�段PF₁的垂直平分線與的交點(diǎn)為M，所以

    故線段PF₁的垂直平分線與的交點(diǎn)M的軌跡方程是，

    該軌跡是以F₁為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線。……13分

    方法二：因?yàn)辄c(diǎn)M是線段PF₁的垂直平分線與的交點(diǎn)，故M到點(diǎn)F₁的距離與到P點(diǎn)距離即到的距離相等，故M點(diǎn)軌跡是以F₁（-1，0）為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為

    所以，線段PF₁的垂直平分線與的交點(diǎn)M的軌跡方程是，該軌跡是以F₁為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線。