Question

【題目】已知函數(shù) ，其中 為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）若函數(shù) 在區(qū)間 上是單調函數(shù)，試求實數(shù) 的取值范圍；
（2）已知函數(shù) ，且 ，若函數(shù) 在區(qū)間 上恰有3個零點，求實數(shù) 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，
當函數(shù) 在區(qū)間 上單調遞增時， 在區(qū)間 上恒成立，
∴ （其中 ），解得 ；
當函數(shù) 在區(qū)間 單調遞減時， 在區(qū)間 上恒成立，
∴ （其中 ），解得 ．
故答案為：實數(shù) 的取值范圍是 ．
（2）解： ．
由 ，知 在區(qū)間 內恰有一個零點，
設該零點為 ，則 在區(qū)間 內不單調，
所以 在區(qū)間 內存在零點 ，
同理， 在區(qū)間 內存在零點 ，
所以 在區(qū)間 內恰有兩個零點．
由（1）知，當 時， 在區(qū)間 上單調遞增，故 在區(qū)間 內至多有一個零點，不合題意．
當 時， 在區(qū)間 上單調遞減，
故 在 內至多有一個零點，不合題意；
所以 ．
令 ，得 ，
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調遞減，在區(qū)間 上單調遞增．
記 的兩個零點為 ， （ ），
因此 ， ，必有 ， ．
由 ，得 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ．
故答案為：實數(shù) 的取值范圍為 ．
【解析】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調等價于導函數(shù)在區(qū)間上恒非正或恒非負,轉化為恒成立問題.
（2）明顯函數(shù)已有一個零點，再根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值得到再有兩個零點時參數(shù)的范圍.
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．