Question

設函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx，a∈R
（Ⅰ）若x=e為y=f（x）的極值點，求實數(shù)a；
（Ⅱ）求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立．
注：e為自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

分析：（I）利用極值點處的導數(shù)值為0，求出導函數(shù)，將x=e代入等于0，求出a，再將a的值代入檢驗．
（II）對x∈（0，3e]進行分區(qū)間討論，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范圍．

解答：解：（I）求導得f′（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

=（x-a）（2lnx+1-

a

x

），
因為x=e是f（x）的極值點，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
經(jīng)檢驗，a=e或a=3e符合題意，
所以a=e，或a=3e
（II）①當0＜x≤1時，對于任意的實數(shù)a，恒有f（x）≤0＜4e²成立
②當1＜x≤3e時，，由題意，首先有f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²，
解得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e+

2e

ln3e

由（I）知f′（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

=（x-a）（2lnx+1-

a

x

），
令h（x）=2lnx+1-

a

x

，則h（1）=1-a＜0，
h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-

a

3e

≥2ln3e+1-

3e+ 2e ln3e

3e

=2（ln3e-

1

3 ln3e

）＞0
又h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)h（x）在在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點，記此零點為x₀
則1＜x₀＜3e，1＜x₀＜a，從而，當x∈（0，x₀）時，f′（x）＞0，
當x∈（x₀，a）時，f′（x）＜0，
當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x₀）內(nèi)是增函數(shù)，
在（x₀，a）內(nèi)是減函數(shù)，在（a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)
所以要使得對任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立只要有

f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2 f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2

有h（x₀）=2lnx₀+1-

a

x0

=0得a=2x₀lnx₀+x₀，將它代入f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2得4x₀²ln³x₀≤4e²
又x₀＞1，注意到函數(shù)4x²ln³x在（1，+∞）上是增函數(shù)故1＜x₀≤e
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函數(shù)2xlnx+x在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得1＜a≤3e
由f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²解得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e+

2e

ln3e

，
所以得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e
綜上，a的取值范圍為3e-

2e

ln3e

≤a≤3e

點評：本題考查函數(shù)的極值的概念，導數(shù)運算法則，導數(shù)應用，不等式等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等分析問題和解決問題的能力，解題的關鍵是準確求出導數(shù)，利用二次求導和函數(shù)零點分區(qū)間計論導函數(shù)的符號，得到原函數(shù)的單調(diào)性，本題屬于難題．