【題目】已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)的橢圓的兩條切線相互垂直.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，過點(diǎn)引拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且直線過點(diǎn)？若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，請說明理由.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)滿足條件的點(diǎn)有兩個.

【解析】

試題

(1) 結(jié)合橢圓的離心率可求得，則橢圓方程為.

(2)由題意首先求得切線方程的參數(shù)形式，據(jù)此可得直線的方程為，則點(diǎn)的軌跡方程為，原問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù)，即滿足條件的點(diǎn)有兩個.

試題解析：

（Ⅰ）由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在軸上方的切點(diǎn)為，軸下方的切點(diǎn)為，

則，的直線方程為，

因?yàn)闄E圓 的離心率為，

所以橢圓，

所以 ，則，

所以橢圓方程為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，，

由，即，得，

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，

即，

∵，∴.

∵點(diǎn)在切線上，∴.①

同理，.②

綜合①、②得，點(diǎn)，的坐標(biāo)都滿足方程.

∵經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線是唯一的，

∴直線的方程為，

∵點(diǎn)在直線上，∴，

∴點(diǎn)的軌跡方程為.

又∵點(diǎn)在橢圓上，又在直線上，

∴直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，

∴直線與橢圓交于兩點(diǎn).

∴滿足條件的點(diǎn)有兩個.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】中國“一帶一路”戰(zhàn)略構(gòu)思提出后, 某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的機(jī)遇, 決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備, 生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為萬元, 每生產(chǎn)臺,需另投入成本(萬元), 當(dāng)年產(chǎn)量不足臺時, (萬元); 當(dāng)年產(chǎn)量不小于臺時 (萬元), 若每臺設(shè)備售價為萬元, 通過市場分析,該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.

（1）求年利潤 (萬元)關(guān)于年產(chǎn)量（臺）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）年產(chǎn)量為多少臺時 ,該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

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【題目】如圖所示，，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長的，則橢圓的離心率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，討論的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)，，且曲線與在處有相同的切線.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：在上恒成立；

（Ⅲ）當(dāng)時，求方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個數(shù).

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【題目】如圖①，已知矩形中，，，為的中點(diǎn).將沿折起，使得平面平面（如圖②），并在圖②中回答如下問題：

(1)求證：；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，交⊙于E，過E的切線與交于D.

（I）求證：；

（II）若，，求的長.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的短軸長為2，傾斜角為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，且點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O連線的斜率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，P是以AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn)，求點(diǎn)到曲線的最小距離.

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