Question

點(diǎn)A，B分別是以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且位于x軸上方，.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.

Answer 1

解：（1）已知雙曲線實(shí)半軸長a₁=4，虛半軸長b₁=，半焦距

∴橢圓長半軸，橢圓半焦距 橢圓短半軸

∴所求橢圓方程為   

（2）由已知A（－6，0），F(xiàn)（4，0），

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，

由已知得

則

由于y>0，只能取

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（） 

（3）直線AP：，設(shè)點(diǎn)M是（m，0），則M到直線AP的距離是，于是，

由于點(diǎn)M在長軸上，所以，因此m=2。

∴橢圓上的點(diǎn)到M（2，0）的距離的平方

由于，

∴時，d取最小值