Question

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
(1)若

AC

•

BC

=-1，求sin(α+

π

4

)的值；(2)O為坐標(biāo)原點，若|

OA

-

OC

|=

13

，且α∈(0，π)，求

OB

與

OC

的夾角．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中A，B，C三點的坐標(biāo)，我們易求出向量

AC

，

BC

的坐標(biāo)，根據(jù)

AC

•

BC

=-1，我們易得到一個三角方程，解方程即可得到sin（α+

π

4

）的值．
（2）根據(jù)向量減法的三角形法則，我們易將|

OA

-

OC

|=

13

轉(zhuǎn)化為|

AC

|=

13

，結(jié)合（1）中結(jié)論，易構(gòu)造出關(guān)于α的三角方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
∴

AC

=（cosα-3，sinα）；

BC

=（cosα，sinα-3）；
∴

AC

•

BC

=cos²α+sin²α-3（sinα+cosα）
=1-3（sinα+cosα）=1-3

2

sin（α+

π

4

）=-1
∴sin（α+

π

4

）=

2

3

（2）∵|

OA

-

OC

|=|

CA

|=|

AC

|
=

cos2α+sin2α-6cosα+9

=

10-6cosα

=

13

∴cosα=-

1

2

又∵α∈（0，π）
∴α=

2π

3

點評：本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算，同角三角函數(shù)關(guān)系，輔助角公式，三角函數(shù)給值求角，其中根據(jù)平面向量數(shù)量積運算公式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題是解答問題的關(guān)鍵．