Question

函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，則

1

m

+ 

2

n

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：由題意可得A（-2，-1），將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入mx+ny+2=0，利用基本不等式即可求得

1

m

+ 

2

n

的最小值．

解答：解：∵函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，
∴x+3=1，x=-2，y=-1．即A（-2，-1）．
∵點(diǎn)A在mx+ny+2=0上，
∴-2m-n+2=0，即2m+n=2，又mn＞0，
∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+ 

2

n

=

1

2

（

1

m

+

2

n

）（2m+n）=

1

2

[2+

n

m

+

4m

n

+2]≥

1

2

•（4+4）=4（當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=1，即m

1

2

，n=1時取“=”）
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題考查基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵在于求得定點(diǎn)A，屬于基礎(chǔ)題．