Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）若，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得當(dāng)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；

當(dāng)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合最值，即可求解.

（2）令，求得導(dǎo)數(shù)，令，得到在有唯一零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，則，

①當(dāng)，則函數(shù)，此時(shí)有唯一的零點(diǎn)；

②當(dāng)，令，可得，

	-	+

所以，最多兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，可得且，所以，

所以，故時(shí)，，

所以在有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，所以在有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）令，

則，

令，可得在是增函數(shù)，

且（，

所以在有唯一零點(diǎn)，且，

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，

故，且，

所以，∴，

所以成立.