Question

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意知a=2，c=1，得b²=3，
∴橢圓C的方程是：；
(Ⅱ)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
知橢圓C的右頂點(diǎn)為M（2，0），
由，
且，
而，
∴，
∴，
整理得，
當(dāng)m=-2k時(shí)，l：y=k（x-2）過(guò)定點(diǎn)(2，0)為右頂點(diǎn)，與已知矛盾；
當(dāng)時(shí)，l：過(guò)定點(diǎn)，此時(shí)；
綜上知，直線l過(guò)定點(diǎn)。