Question

有6本不同的書，按照以下要求處理，各有多少種不同的分法？
（1）一堆一本，一堆兩本，一堆三本；
（2）甲得一本，乙得兩本，丙得三本；
（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；
（4）平均分給甲、乙、丙三人；
（5）平均分成三堆．

Answer 1

解：（1）先在6本書中任取一本．作為一本一堆，有種取法，再從余下的五本書中任取兩本，作為兩本一堆，有C種取法，再后從余下三本取三本作為一堆，有C 種取法，故共有分法CCC=60種．…（3分）
（2）由（1）知，分成三堆的方法有CCC種，第每種分組方法僅對應一種分配方法，
故甲得一本，乙得兩本，丙得三本的方法也為CCC=60種．
（3）由（1）知，分成三堆的方法有CCC種，但每種分組方法又有A種分配方法，
故一人得一本，一人得二本，一人得三本的分法有CCCA=360種．
（4）3個人一個一個地來取書，甲從6本不同的書本中任取出2本的方法有C種，甲不論用哪一種方法取得2本書后，已再從余下的4本書中取書有C種方法，而甲、乙不論用哪一種方法各取2本書后，丙從余下的兩本中取兩本書，有C種方法，
所以一共有CCC=90種方法．…（12分）
（5）6本不同的書平均分成三堆，有CCC÷A=15種分堆方法．
分析：（1）先在6本書中任取一本．作為一本一堆，有種取法，再從余下的五本書中任取兩本，作為兩本一堆，有C種取法，再后從余下三本取三本作為一堆，有C 種取法，最后根據(jù)乘法得出共有分法CCC種方法；
（2）6本不同的書分成3本、2本、1本的三堆，無序不均勻分組問題；
（3）由（1）知，分成三堆的方法有CCC種，但每種分組方法又有A種分配方法，根據(jù)乘法原理得出一人得一本，一人得二本，一人得三本的分法種數(shù)即可；
（4）3個人一個一個地來取書，甲從6本不同的書本中任取出2本的方法有C種，甲不論用哪一種方法取得2本書后，已再從余下的4本書中取書有C種方法，而甲、乙不論用哪一種方法各取2本書后，丙從余下的兩本中取兩本書，有C種方法，所以一共有CCC種方法；
（5）平均分成三份，每份2本，這是平均分組問題．
點評：本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，考查計算能力，理解能力，屬于基礎題．