Question

已知函數(shù)F(x)=，在由正數(shù)組成的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，=F(a_n)(n∈N^*).

（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；

（2）在數(shù)列{b_n}中，對任意正整數(shù)n，b_n·都成立，設S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，比較S_n與12的大小；

（3）在點列A_n(2n,)(n∈N^*)中，是否存在三個不同點A_k、A_l、A_m，使A_k、A_l、A_m在一條直線上？若存在，寫出一組在一條直線上的三個點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）解：由=f(a_n)，得==.?

∴-=4,即{}是以=1為首項，4為公差的等差數(shù)列.?

有=1+（n-1）×4=4n-3，?

∵a_n＞0,∴a_n=.                                                                           ?

（2）解：∵b_n·,?

∴b_n·［(3n-1)+］=b_n(4n²-1)=1.?

∴b_n==(-).?

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n?

=［(1-)+(-)+…+(-)］?

=(1-)＜.?

∴S_n＜.                                                                                                               ?

（3）解：點列A_n(2n,(n∈N^*)中不可能有共線的三個點.         ?

根據(jù)（1），可得A_n(2n,)(n∈N^*)，?

令x=2n,y=,則y=（x≥2）.?

點（x,y）在曲線x²-y²=1(x≥2,y≥)上，?

所以A_n(2n,)在曲線x²-y²=1(x≥2,y≥)上，而直線方程與x²-y²=1聯(lián)立組成的方程組最多有兩組不同的解.所以直線與x²-y²=1最多有兩個交點.?

所以點列A_n(2n,)(n∈N^*)中不可能有共線的三個點.