Question

設拋物線C的方程為x²=4y，M（x，y）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．
（1）當M的坐標為（0，-1）時，求過M，A，B三點的圓的方程，并判斷直線l與此圓的位置關系；
（2）求證：直線AB恒過定點（0，m）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設過M點的切線方程，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐標，利用M到AB的中點（0，1）的距離為2，可得過M，A，B三點的圓的方程，從而可判斷圓與直線l：y=-1相切；
（2）證法一：設切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為，代入x²=4y，消元，利用△=0，即可確定，利用切線過點M（x，y），所以可得，同理可得，由此可得直線AB的方程，從而可得結論；
證法二：設過M（x，y）的拋物線的切線方程為（k≠0），代入x²=4y，消去y，利用韋達定理，確定直線AB的方程，從而可得結論；
證法三：利用導數(shù)法，確定切線的斜率，得切線方程，由此可得直線AB的方程，從而可得結論．
解答：（1）解：當M的坐標為（0，-1）時，設過M點的切線方程為y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，
令△=（4k）²-4×4=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），…（2分）
因為M到AB的中點（0，1）的距離為2，
從而過M，A，B三點的圓的方程為x²+（y-1）²=4．
∵圓心坐標為（0，1），半徑為2，∴圓與直線l：y=-1相切…（4分）
（2）證法一：設切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4（kx₁-y₁）=0△=（4k）²-4×4（kx₁-y₁）=0，又因為，所以…（6分）
從而過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為即
又切線過點M（x，y），所以得①即…（8分）
同理可得過點B（x₂，y₂）的切線為，
又切線過點M（x，y），所以得②…（10分）
即…（6分）
即點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均滿足即xx=2（y+y），故直線AB的方程為xx=2（y+y）…（12分）
又M（x，y）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，故xx=2（y-m）對任意x成立，所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）…（14分）
證法二：設過M（x，y）的拋物線的切線方程為（k≠0），代入x²=4y，消去y，得x²-4kx-4（y-kx）=0△=（4k）²+4×4（y-kx）=0即：k²+xk+y=0…（6分）
從而，此時，
所以切點A，B的坐標分別為，…（8分）
因為，，，
所以AB的中點坐標為…（11分）
故直線AB的方程為，即xx=2（y+y）…（12分）
又M（x，y）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，故xx=2（y-m）對任意x成立，所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）…（14分）
證法三：由已知得，求導得，切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故過點A（x₁，y₁）的切線斜率為，從而切線方程為即
…（7分）
又切線過點M（x，y），所以得①即…（8分）
同理可得過點B（x₂，y₂）的切線為，
又切線過點M（x，y），所以得②即…（10分）
即點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均滿足即xx=2（y+y），故直線AB的方程為xx=2（y+y）…（12分）
又M（x，y）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，故xx=2（y-m）對任意x成立，所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）…（14分）
點評：本題考查圓的方程，考查拋物線的切線，考查直線恒過定點，確定切線方程，及直線AB的方程是關鍵．