Question

（2009•紅橋區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，其中a₁=p，b₁=q，又a_n=pa_n-1，b_n=qa_n-1+rb_n-1（n≥2，n∈N⁺）（p、q、r為常數(shù)，且pqr≠0，p≠r）．
（Ⅰ）寫出b₂，b₃，b₄（用p、q、r表示）；
（Ⅱ）試推測出b_n用p、q、r、n表示的公式；
（Ⅲ）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明你（Ⅱ）中的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)a_n=pa_n-1求出a_n的表達(dá)式，然后代入n=1，2，3進(jìn)行求出b₁、b₂、b₃的式子，
（Ⅱ）猜想b_n=

q(pn-rn)

p-r

，
（Ⅲ）按照數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟分3步進(jìn)行即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=p，a_n=pa_n-1，
∴a_n=pⁿ．又b₁=q，
b₂=qa₁+rb₁=q（p+r），
b₃=qa₂+rb₂=q（p²+pq+r²），
（Ⅱ）猜想b_n=q（p^n-1+p^n-2r+…+r^n-1）=

q(pn-rn)

p-r

；
（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=2時(shí)，b₂=q（p+r）=

q(p2-r2)

p-r

，等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即bk=

q(pk-rk)

p-r

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，b_k+1=qa_k+rb_k=qp^k+

rq(pk-rk)

p-r

=

qpk(p-r)+rq(pk-rk)

p-r

=

q[(pk+1-pkr)+(rpk-rk+1)]

p-r

=

q(pk+1-rk+1)

p-r

，
即n=k+1時(shí)等式也成立，
所以對(duì)于一切自然數(shù)n≥2，bn=

q(pn-rn)

p-r

都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)學(xué)歸納法的證明．考查綜合運(yùn)用能力．