Question

（2011•寧波模擬）設(shè)

OM

=(1，

1

2

)，

ON

=(0，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1，則z=y-x的最大值是（　　）

• A．

  3

  2

• B．1
• C．-1
• D．-2

Answer 1

分析：由

OP

•

OM

= x+

1

2

y，

OP

•

ON

=y及0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1可得

0≤x+ 1 2 y≤ 1 0≤y≤1

，利用線性規(guī)劃的知識(shí)可求Z的最大值

解答：解：∵點(diǎn)P（x，y）∴

OP

=(x，y)
∵

OM

=(1，

1

2

)，

ON

=(0，1)
∴

OP

•

OM

= x+

1

2

y，

OP

•

ON

=y
∵0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1
∴

0≤x+ 1 2 y≤ 1 0≤y≤1

作出該不等式組所確定的平面區(qū)域，如圖所示的陰影部分，作直線L：y-x=0，然后把直線L向可行域方向平移，
由目標(biāo)函數(shù)Z=y-x可得y=x+Z，則Z為直線y=x+z在y軸的截距，從而可知向上平移是，Z變大，向下平移時(shí)，Z變小
到A時(shí)Z有最大值，當(dāng)移到C時(shí)Z最小值
由

y=1 2x+y=0

可得A（-

1

2

，1），此時(shí)Z最大=y-x=

3

2

由

y=0 2x+y=2

可得C（1，0），此時(shí)Z最小=y-x=-1
即Z的最大值為

3

2

故選A

點(diǎn)評：本題以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示為載體，主要考查了利用線性規(guī)劃的知識(shí)求解目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于知識(shí)的綜合性應(yīng)用．