Question

某校為了探索一種新的教學(xué)模式，進(jìn)行了一項(xiàng)課題實(shí)驗(yàn)，甲班為實(shí)驗(yàn)班，乙班為對比班，甲乙兩班的人數(shù)均為50人，一年后對兩班進(jìn)行測試，測試成績的分組區(qū)間為[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到兩個班測試成績的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）完成下面2×2列聯(lián)表，你能有97.5%的把握認(rèn)為“這兩個班在這次測試中成績的差異與實(shí)施課題實(shí)驗(yàn)有關(guān)”嗎？并說明理由；

	成績小于100分	成績不小于100分	合計(jì)
甲班	a= 12	b= 38	50
乙班	c=24	d=26	50
合計(jì)	e= 36	f= 64	100

（Ⅱ）現(xiàn)從乙班50人中任意抽取3人，記ξ表示抽到測試成績在[100，120）的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.204	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，a=0.024×10×50=12，b=50-12=38，e=12+24=36，f=38+26=64，利用公式計(jì)算K²，與臨界值比較，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）確定乙班測試成績在[100，120）的有25人，ξ可取0，1，2，3，計(jì)算相應(yīng)的概率，從而可得分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意，a=0.024×10×50=12，b=50-12=38，e=12+24=36，f=38+26=64，…（2分）
∴K2=

100×(24×38-26×12)2

50×50×36×64

=6.25，…（4分）
∵P（K²＞5.204）=0.025，
∴有97.5%的把握認(rèn)為這兩個班在這次測試中成績的差異與實(shí)施課題實(shí)驗(yàn)有關(guān)”…（6分）
（Ⅱ）乙班測試成績在[100，120）的有25人，ξ可取0，1，2，3，…（8分）
P（ξ=0）=

C 0 25 C 3 25

C 3 50

=

23

196

，P（ξ=1）=

C 1 25 C 2 25

C 3 50

=

75

196

P（ξ=2）=

C 2 25 C 1 25

C 3 50

=

75

196

，P（ξ=3）=

C 3 25 C 0 25

C 3 50

=

23

196

ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	23 196	75 196	75 196	23 196

（10分）
Eξ=0×

23

196

+1×

75

196

+2×

75

196

+3×

23

196

=

3

2

．   …（12分）

點(diǎn)評：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是確定離散型隨機(jī)變量的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率．