橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），M是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足
F1M
•
F2M
=0．
（1）求離心率的取值范圍；
（2）當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5
2
；
①求此時(shí)橢圓G的方程；
②設(shè)斜率為k（k≠0）的直線L與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問(wèn)A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)P(0，-
3
3
)、Q的直線對(duì)稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，
（1）我們?cè)O(shè)M（x，y），則易得向量
F1M
，
F2M
的坐標(biāo)，由
F1M
•
F2M
=0，結(jié)合向量垂直的充要條件，我們即可得到x，y的關(guān)系式，又由M又在橢圓上，代入橢圓方程即可得到離心率的取值范圍．
（2）①由（1）的結(jié)論，我們易得到離心率e取得最小值時(shí)的橢圓方程（含參數(shù)），再點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5
2
，我們易得到關(guān)于參數(shù)的方程，解方程即可得到橢圓的方程．②設(shè)出未知直線的方程，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，然后使用“設(shè)而不求”的方法，結(jié)合韋達(dá)定理及A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)P(0，-
3
3
)、Q的直線對(duì)稱構(gòu)造不等式組，解不等式組即可得到k的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），則
F1M
=(x+c，y)，
F2M
=(x-c，y)
由
F1M
•
F2M
=0?x2+y2=c2?y2=c2-x2（1分）
又M在橢圓上，∴y2=b2-
b2
a2
x2（2分）
∴c2-x2=b2-
b2
a2
x2?x2=a2-
a2b2
c2
，（3分）
又0≤x2≤a2∴0＜2-
1
e2
≤1?
2
2
≤e≤1，（4分）
∵0＜e＜1，∴
2
2
≤e＜1（5分）
（2）①當(dāng)e=
2
2
時(shí)得橢圓為
x2
2b2
+
y2
b2
=1
設(shè)H（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，
則|HN|2=x2+（y-3）2=（2b2-2y2）+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b）
（6分）
設(shè)0＜b＜3，則-3＜-b＜0，當(dāng)y=-b時(shí)，|HN|max2=b2+6b+9，，由題意得b2+6b+9=50
∴b=-3±5
2
，與0＜b＜3矛盾，（7分）
設(shè)b≥3得-b≤-3，當(dāng)y=-3時(shí)，|HN|max2=2b2+18，，由2b2+18=50得b2=16，（合題薏）
∴橢圓方程是：
x2
32
+
y2
16
=1（8分）
②．設(shè)l：y=kx+m由
x2
32
+
y2
16
=1
y=kx+m
?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0
而△＞0?m2＜32k2+16（9分）
又A、B兩點(diǎn)關(guān)于過(guò)點(diǎn)P(0，-
3
3
)、Q的直線對(duì)稱
∴kPQ=-
1
k
，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則xQ=-
2km
1+2k2
，yQ=
m
1+2k2
（10分）
∴
yQ+
3
3
xQ
=-
1
k
?m=
1+2k2
3
（11分）
∴(
1+2k2
3
)2＜32k2+16?0＜k2＜
47
2
（10分）
又k≠0，∴-
94
2
＜k＜0或0＜k＜
94
2
（11分）
∴需求的k的取值范圍是-
94
2
＜k＜0或0＜k＜
94
2
（12分）
點(diǎn)評(píng)：在處理直線與圓錐曲線的關(guān)系類問(wèn)題時(shí)，我們的使用的方法及思路一般有：①聯(lián)立方程；②設(shè)而不求；③韋達(dá)定理；④弦長(zhǎng)公式等．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•順義區(qū)一模）已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=
1
2
x+m與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T，當(dāng)m變化時(shí)，求△TAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•海淀區(qū)一模）已知圓M：（x-
2
）2+y2=
7
3
，若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為
2
2
．
（I）求橢圓C的方程；
（II）已知直線l：y=kx，若直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，與圓M分別交于G，H兩點(diǎn)（其中點(diǎn)G在線段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
1
2
，P1為橢圓上一點(diǎn)，滿足
F1F2
•
P1F2
=0，
P1F1
•
P1F2
=
9
4
，斜率為k的直線l 過(guò)左焦點(diǎn)F1且與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為P、Q，與y軸交點(diǎn)為G，點(diǎn)Q分有向線段
GF1
所成的比為λ．
（I） 求橢圓C的方程；
（II） 設(shè)線段PQ中點(diǎn)R在左準(zhǔn)線上的射影為H，當(dāng)1≤λ≤2時(shí)，求|RH|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知F（c，0）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)；⊙F：（x-c）2+y2=a2與x軸交于D，E兩點(diǎn)，其中E是橢圓C的左焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)⊙F與y軸的正半軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，試判斷直線AB與⊙F的位置關(guān)系；
（3）設(shè)直線BF與⊙F交于另一點(diǎn)G，若△BGD的面積為4
3
，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：順義區(qū)一模 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=
1
2
x+m與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T，當(dāng)m變化時(shí)，求△TAB面積的最大值．

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