Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知曲線，直線.

（1）將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的2倍、倍后得到曲線，請(qǐng)寫出直線，和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)且， 與曲線交于點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2)2.

【解析】試題分析：（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系可得直角坐標(biāo)方程為，根據(jù)伸縮變化法則可得的方程為；（2）寫出直線的參數(shù)方程為，聯(lián)立直線和曲線，根據(jù)參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)果.

試題解析：(1)因?yàn)?/span>，所以的直角坐標(biāo)方程為；

設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，

代入方程得： ，所以的方程為.

(2)直線： 傾斜角為，由題意可知，

直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

聯(lián)立直線和曲線的方程得， .設(shè)方程的兩根為，則，由直線參數(shù)的幾何意義可知， .