Question

設函數(shù)f(x)=

x3

3

-x2-3x-3a，(a大于0)．（1）如果a=1，點p為曲線y=f（x）上一個動點，求以P為切點的切線其斜率取最小值時的切線方程；
（2）若x∈[a，3a]時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）進行求導，求出導函數(shù)的最小值即為所求切線方程的斜率，再求出切點再由點斜式得到切線方程．
（2）根據(jù)導函數(shù)的正反判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后對a的不同范圍求函數(shù)f（x）在x∈[a，3a]上的最小值使得大于等于0，進而可確定a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設切線斜率為k則k=f'（x）=x²-2x-3，當x=1時k最小值為-4．
f（1）=-

20

3

所以切線方程為y+

20

3

=-4（x-1）即12x+3y+8=0
（Ⅱ）由k=f'（x）=x²-2x-3＞0，k=f'（x）=x²-2x-3＜0＜0得．
函數(shù)f（x）=

x3

3

-x2-3x-3a，（a＞0）在（-∞，-1），（3，+∞）為增函數(shù)，在（-1，3）減函數(shù)
（1）

0＜a＜3a≤3 f(3a)≥0

，無解；
（2）

0＜a＜3＜3a f(3)≥0

無解；
（3）

a≥3 f(a)≥0

，解得a≥6．綜上所述a≥6．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系，屬基礎題．