Question

已知函數(shù)f（x）=a（x²-1）-xlnx．
（I）當a=

1

2

時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a的值代入函數(shù)解析式，然后求函數(shù)的導函數(shù)，求出導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點把定義域分段，根據導函數(shù)在各區(qū)間段內的符號求出原函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，根據a的不同取值范圍對導函數(shù)的符號加以判斷，只有當a≥

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2

時，f′（x）=（2a-1）x+（x-lnx-1）＞0，f（x）是增函數(shù)，此時f（x）≥f（1）=0，不等式恒成立．對于0＜a＜

1

2

和a≤0都不能滿足當x≥1時，f（x）≥0恒成立，從而求得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=

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2

時，f(x)=

1

2

(x2-1)-xlnx，所以f′（x）=x-lnx-1．
函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
設g（x）=x-lnx-1，則g′（x）=1-

1

x

．
令g′（x）=0，得x=1．
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）是減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）是增函數(shù)．
函數(shù)g（x）的最小值為g（1）=0．
所以g（x）=f′（x）≥0（僅當x=1時取等號），f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)．
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）=a（x²-1）-xlnx，則f′（x）=2ax-lnx-1．
（1）若a≥

1

2

，則由（Ⅰ）知，f′（x）=（2a-1）x+（x-lnx-1）＞0，f（x）是增函數(shù)，
此時f（x）≥f（1）=0，不等式恒成立．
（2）若0＜a＜

1

2

，設h（x）=2ax-lnx-1，h′（x）=2a-

1

x

．
當x∈（1，

1

2a

）時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）是減函數(shù)．
則f′（x）=h（x）＜h（1）=2a-1＜0，f（x）在（1，

1

2a

）是減函數(shù)．
這時f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
（3）若a≤0時，則當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）是減函數(shù)，
此時f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
綜上所述，a的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減．考查了利用導數(shù)研究含有參數(shù)的不等式恒成立問題，是中檔題．