Question

已知數(shù)列和滿足：，，，
其中為實(shí)數(shù)，.
⑴ 對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；
⑵ 證明：當(dāng)，數(shù)列是等比數(shù)列；
⑶設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有？
若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

⑴證明略⑵證明略⑶存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有，的取值范圍為.

⑴證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使是等比數(shù)列，則有，
即矛盾.
所以不是等比數(shù)列.
⑵ 解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231231556141094.gif" style="vertical-align:middle;" />


又，所以，當(dāng)時(shí)，
由上可知，
此時(shí)是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
⑶當(dāng)時(shí)，由⑵得 ，于是
，
當(dāng)時(shí)，，從而上式仍成立.要使對(duì)任意正整數(shù)n , 都有.即
令，則
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，.
的最大值為于是可得 .
綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有，的取值范圍為.