Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2x2+2x

x2+1

，函數(shù)g（x）=ax²+5x-2a．
（1）求f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：對于（1）有函數(shù)式化簡后用換元法求值域．
對于（2）由題意可知對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，等價(jià)于f（x）的值域[0，2]是函數(shù)y=g（x）在x∈[0，1]的值域的子集．

解答：解：（1）y=

2x2+2x

x2+1

=

2(x2+1)+2x-2

x2+1

=2+

2(x-1)

x2+1

，
令x-1=t，則x=t+1，t∈[-1，0]，y=2+

2t

t2+2t+2

，
當(dāng)t=0時(shí)，y=2；當(dāng)t∈[-1，0），y=2+

2

t+ 2 t +2

，
由對勾函數(shù)的單調(diào)性得y∈[0，2），故函數(shù)在[0，1]上的值域是[0，2]；
（2）f（x）的值域是[0，2]，要g（x₀）=f（x₁）成立，則[0，2]⊆{y|y=g（x），x∈[0，1]}
①當(dāng)a=0時(shí)，x∈[0，1]，g（x）=5x∈[0，5]，符合題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）的對稱軸為x=-

5

2a

＜0，故當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，則g（x）的值域是[-2a，5-a]，由條件知[0，2]⊆[-2a，5-a]，∴

a＞0 -2a≤0 5-a≥2

?0＜a≤3；
③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)g（x）的對稱軸為x=-

5

2a

＞0．
當(dāng)0＜-

5

2a

＜1，即a＜-

5

2

時(shí)，g（x）的值域是[-2a，

-8a2-25

4a

]或[5-a，

-8a2-25

4a

]，
由-2a＞0，5-a＞0知，此時(shí)不合題意；當(dāng)-

5

2a

≥1，即-

5

2

≤a＜0時(shí)，g（x）的值域是[-2a，5-a]，
由[0，2]⊆[-2a，5-a]知，由-2a＞0知，此時(shí)不合題意．
綜合①②③得0≤a≤3．

點(diǎn)評：此題（1）考查考查了有解析式選擇換元法求函數(shù)值域．
此題（2）考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及判斷含有字母參數(shù)集合關(guān)系時(shí)分類討論的思想．