Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；

（Ⅲ）求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）時，單調(diào)遞增區(qū)間為；時，單調(diào)遞減區(qū)間為，

單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求得函數(shù)的導函數(shù)，然后根據(jù)和分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）首先由（Ⅰ）中時的單調(diào)性可知，從而構(gòu)造函數(shù)，然后通過求導得到函數(shù)的單調(diào)性，由此得到函數(shù)的最大值，再由對任意的恒成立，得，由此求得的值；（Ⅲ）首先根據(jù)（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為 ，進而將問題等價轉(zhuǎn)化為證．

試題解析：（Ⅰ）

時，，在上單調(diào)遞增；

時，時，，單調(diào)遞減，

時，，單調(diào)遞增.

（Ⅱ）由（Ⅰ），時，，

，

即，記 ．

，

在上增，在上遞減，

，

故，得．

（Ⅲ）由（Ⅱ），即 ，則時，．

要證原不等式成立，只需證：，即證：

下證①

①中令，各式相加，得

成立，

故原不等式成立.

方法二：時，，

時， ，

時， ．