已知向量
a
=(m，n)，
b
=(sinx，1)，
c
=(cosx，sinx)，
a
•
b
∈[-7，1]
（1）求
a
•
c
的最大值；
（2）若m＞0，向量
OP
=
a
+
c
，求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程及|
a
+
c
|的最大值．
分析：（1）因?yàn)?span id="seksuk8" class="MathJye">
a
•
b
∈[-7，1]，則msinx+n∈[-7，1]，當(dāng)m＞0時(shí)，
m+n=1
-m+n=-7
；當(dāng)m＜0時(shí)，
m+n=-7
-m+n=1
，由此能求出最大值．
（2）由于 m＞0，則
m=4
n=-3
，所以
OP
=
a
+
c
=（4+cosx0，-3+sinx0）=（x，y），由此能求出點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程及|
a
+
c
|的最大值．
解答：解：（1）因?yàn)?span id="2sm8ceq" class="MathJye">
a
•
b
∈[-7，1]，
則msinx+n∈[-7，1]，
當(dāng)m＞0時(shí)，
m+n=1
-m+n=-7
，
解得
m=4
n=-3
；
當(dāng)m＜0時(shí)，
m+n=-7
-m+n=1
，
解得
m=-4
n=3
．
所以
a
•
c
=4cosx-3sinx=-5sin(x-φ)，
由于x∈R，∴
a
•
c
的最大值為5
（2）由于 m＞0，
則由（1）知
m=4
n=-3
，
∵向量
OP
=
a
+
c
，點(diǎn)P（x，y）
∴
OP
=
a
+
c
=（4+cosx0，-3+sinx0）=（x，y）
∴
x=4+cosx0
y=-3+sinx0
，
故點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為：（x-4）2+（y+3）2=1；
|
a
+
c
|=|（4+cosx0，-3+sinx0）|
=
16+8cosx0+cos2x0+9-6sinx0+sin2x0

=
26-6sinx0+8cosx0

=
26+10sin(x0+θ)
，
∴|
a
+
c
|的最大值為6．
點(diǎn)評：本題考查求
a
•
c
的最大值；若m＞0，向量
OP
=
a
+
c
，求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程及|
a
+
c
|的最大值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(m，n)，
b
=(cosθ，sinθ)，其中m，n，θ∈R．若|
a
|=4|
b
|，則當(dāng)
a
•
b
＜λ2恒成立時(shí)實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　�。�
A、λ＞
2
或λ＜-
2
B、λ＞2或λ＜-2
C、-
2
＜λ＜
2
D、-2＜λ＜2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(m，n)，
b
=(5，1)，若向量2
a
+
b
與向量
a
-2
b
共線，則
m
n
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(m，n)，
b
=(cosθ，sinθ)，其中m，n，θ∈R，若|
a
|=4|
b
|，則當(dāng)
a
•
b
＜λ2恒成立時(shí)實(shí)數(shù)λ的取值范圍是
λ＞2或λ＜-2
λ＞2或λ＜-2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(m，n)，
b
=(1，2)，
c
=(k，t)，且
a
∥
b
，
b
⊥
c
，|
a
+
c
|=
10
，則mt的取值范圍是（　�。�

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